Брат президента США, министр юстиции Роберт Кеннеди неофициально посетил советского посла Добрынина. Согласно воспоминаниям Хрущева, который ссылался на отчет посла, американский министр «выглядел очень усталым, глаза у него красные-красные, было видно, что он ночь не спал, да и сам он потом сказал об этом. Роберт Кеннеди сообщил Добрынину, что шесть дней не был дома, не видел своих детей и жену, что они с президентом сидят в Белом доме и бьются над вопросом о наших ракетах». Он проинформировал, что Джон Кеннеди готовит конфиденциальное обращение и просит советского лидера принять его предложения. Положение угрожающее, добавил он, президент не сможет долго противостоять давлению военных и других сторонников силового решения конфликта.

В послании советскому руководству Джон Кеннеди сообщил, что его страна готова отменить блокаду и не станет нападать на Кубу, если СССР заберет наступательные ракеты с острова под наблюдением ООН. Неофициально президент США известил главу советского правительства, что позднее, после вывода ракет с Кубы, американцы демонтируют свои ракеты в Турции.

27 октября ракетный кризис достиг апогея. Занимавший в тот период пост министра обороны США Макнамара позднее признавался Бурлацкому, что вечером этого дня он сомневался, увидит ли назавтра восход солнца. Бывший советский подводник Вадим Орлов признался на конференции в связи с 40-летием событий 1962, что на одной из четырех советских подводных лодок около берегов Кубы были ядерные торпеды, и что 27 октября лодка подверглась бомбовой атаке с американского противолодочного корабля, и руководители экипажа обсуждали возможность торпедировать его. В конце концов, идея была отвергнута двумя офицерами из трех.

В руководстве СССР взвешивали возможные варианты ответа в случае американской бомбежки базы на Кубе. По свидетельству Бурлацкого, обсуждались такие меры, как нанесение удара по американской базе в Турции, действия против Западного Берлина. «Но ни один из этих вариантов не рассматривался серьезно». Было ясно, что такого развития событий нельзя допустить, но необходимо было «спасти лицо». Вопрос обсуждался на заседании Президиума ЦК КПСС. По поручению Хрущева Бурлацкий подготовил вариант ответа, который должен был предотвратить американский бомбовый удар. На его основе советский лидер составил текст заявления о готовности СССР вывести с Кубы ракеты и другое вооружение, которое США считали наступательным. Заявление должен был утвердить Президиум ЦК.

Но в это время Ф.Кастро потребовал от СССР решительных действий. Он встретился с советским послом Алексеевым и сообщил, что, по имеющимся сведениям, утром 28 октября американцы намереваются нанести бомбовый удар по ракетной базе на Кубе. Он предложил Советскому Союзу нанести превентивный ядерный удар по США. Глава отдела социалистических стран в ЦК КПСС Юрий Андропов доложил об этом Хрущеву.

«Когда нам это прочитали, – вспоминал Хрущев, – мы, сидя в молчании, долго смотрели друг на друга. Тут стало ясно, что Фидель совершенно не понял нашей цели», что СССР не планировал нанесение ядерного удара по США с территории Кубы и размещает ракеты лишь как фактор давления. Наконец, Хрущев, по свидетельству Бурлацкого, «спокойно сказал, что у товарища Фиделя Кастро сдали нервы, что у нас идут успешные переговоры с американцами и мы близки к соглашению». Призыв кубинского руководителя был отвергнут. Секретарь ЦК КПСС Леонид Ильичев спешно доставил заявление Хрущева в Радиокомитет СССР, и оно было передано по радио на весь мир. Его направили также лично президенту Кеннеди и У Тану.

Это был переломный момент в истории кризиса. Готовность СССР пойти на уступки была подтверждена Хрущевым в письме Кеннеди 28 октября. Он признал, что на Кубе размещено «грозное оружие», но это размещение становится ненужным, если США заявляют, что не собираются нападать на Кубу. Иными словами, речь шла о том, что Советский Союз выведет ракеты и другое вооружение (за исключением обычного), если американская сторона примет на себя обязательства не вторгаться на остров. В Нью-Йорк для переговоров в ООН был направлен первый заместитель министра иностранных дел В.Кузнецов.